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zoom RSS 不思議な数 ナルシシスト数とは?

<<   作成日時 : 2017/07/22 21:25   >>

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ネットのクイズをやっていたら、回答が「ナルシシスト数」というのに出くわした。
僕は迂闊にもナルシシスト数というのを知らなかった(大学時代も含めて、数学の時間に習った記憶もないなぁ…)。なので、調べて見た。

そもそもナルシシスト数(Narcissistic Number)とは、一体どういう数なのか?
n桁の正の整数Nについて、その各桁の数のn乗の和が元の数Nに等しくなるとき、その数Nをナルシシスト数という。具体的には次のような数だ。

(1) 1桁の数の場合
この場合は n = 1 で、N1 = N となるので、Nが1桁の数の場合、すべての1桁の数(N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)はナルシシスト数だ。これは簡単だ。

(2) 2桁の数の場合
2桁のナルシシスト数は存在しない。

(3) 3桁の数の場合
3桁のナルシシスト数は 153、370、371、407 の4つだ。
実際に計算してみると、
N = 153:13 + 53 + 33 = 1 + 125 + 27 = 153
N = 370:33 + 73 + 03 = 27 + 343 = 370
N = 371:33 + 73 + 13 = 27 + 343 + 1 = 371
N = 407:43 + 03 + 73 = 64 + 343 = 407

(4) 4桁の数の場合
4桁のナルシシスト数は 1634、8208、9474 の3つしかないのだ。
これも実際に計算してみると、
N=1634:14 + 64 + 34 + 44 = 1 + 1296 + 81 + 256 = 1634
N=8208:84 + 24 + 04 + 84 = 4096 + 16 + 4096 = 8208
N=9474:94 + 44 + 74 + 44 = 6561 + 256 + 2401 + 256 = 9474

とまぁ、こんな風になるのだ。4桁の数までは Excel を使ってガンバって計算しようという気になるけど、5桁以上となるとさすがに計算する気になれない(プログラムを組めば計算できるだろうけど)。

一体ナルシシスト数はどのくらい存在するのかというと、0を除けば全部で87個存在し、そのうち最大の数は39桁の数

115132219018763992565095597973971522401

だそうだ(詳細は以下のサイトを見てください)。
Wolfram Math World:http://mathworld.wolfram.com/NarcissisticNumber.html

それでは、ナルシシスト数が有限個しかないということはどのように証明されるのか?

n桁の数Nを考える。
数Nの各桁のn乗の和は、最大で
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また、Nはn桁の数なので、
画像

したがって、Nがナルシシスト数ならば
画像

となることが必要だが、これは n ≦ 60 の場合に成立する。つまりどんなに大きくても60桁以下(実際には最大で39桁)の数なので、ナルシシスト数は有限個しか存在しないのだ。

上の不等式が n ≦ 60 の場合にしか成立しないことは、多項式と指数関数の極限について次のことが成り立つことを使えば理解できる。

画像

のとき、以下が成り立つ。
画像

上の不等式を変形して、左辺と右辺の比をとると、
画像

となるが、これの n → ∞ の極限をとると、
画像

となって発散してしまう。つまり、n がある値を超えて大きくなると分子の指数関数が分母より大きくなってしまい、rn ≦ 1 を満たさなくなるのだ。それでは、実際に n がいくつ以上であれば rn ≦ 1 を満たさなくなるのか、横軸に n 、縦軸に rn をとってグラフを書いてみると、以下のようになる。

画像


このグラフから、n が60を超えると rn が急激に大きくなることがわかる。つまり、 rn ≦ 1 を満たすためには n ≦ 60 でなければならないのだ。

ところで、この不思議な数ナルシシスト数は、一体何の役に立つのか?
数学的には特に深い意義はなさそうだし…。数学のお遊びのようなものかな。
ナルシシスト数の「ナルシシスト(narcissist)」はナルシシズム(narcissism;自己愛、自己陶酔、うぬぼれ)を呈する人という意味だが、これを見つけた人は数学的に自己陶酔したとことから、ナルシシスト数と呼ばれるようになったのかな?(個人的見解ですが)

関連記事はこちら。
高校数学の美しい物語:http://mathtrain.jp/narcissistic
Wolfram Math World:http://mathworld.wolfram.com/NarcissisticNumber.html

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